Mirifica lume a infinitului

Problema infinitului permite abordari diverse, din puncte de vedere diferite – cel al omului de stiinta, al artistului sau al filozofului.

Matematicianul priveste infinitul ca pe o notiune matematica, ce nu se deosebeste prea mult de celelalte obiecte abstracte cu care lucreaza. El este un instrument, nu un scop in sine, pe care il foloseste cu indemanare, sprijinindu-se pe intuitie si logica. Infinitul poate imbraca pentru matematicieni diverse forme: un sir de numere care “converg” spre infinit 1, 2, …, n, … sau o dreapta careia, daca i se atribuie un sens de parcurgere, “vine” de la infinit si “merge” tot spre infinit. Acest lucru se intampla insa pe orice directie asa incat planul si, in mod analog, spatiul tridimensional constituie noi ilustrari ale infinitului.

Toate aceste exemple au o caracteristica comuna: aceea ca sunt obtinute printr-un procedeu de trecere la limita, adica de apropieri succesive. In cazul sirului, acest lucru este usor de vazut. Pentru dreapta, plan sau spatiu este suficient sa alegem un punct (o origine) pe care sa-l consideram central unui interval, unui cerc sau sfera de raze succesive alese 1, 2, …, n, … cu n oricat de mare – si iata ca ne-am intors la sirul de la care am plecat, obtinand trei reprezentari geometrice ale aceluiasi proces matematic. In felul acesta intervalul, cercul sfera se vor “transforma” intr-o drepata, plan sau spatiu tridimensional.

In matematica insa, infinitul poate avea si alte fatete. De exemplu, un segment de dreapta, oricat de mic, contine o infinitate de puncte. Sau un fapt aproape incredibil, demonstrat pentru prima data de Georg Cantor, intr-un patrat sunt tot atatea puncte cat si pe latura lui, adica o infinitate de puterea continutului. Pentru matematician, acest lucru nu este deloc evident deoarece el a clasificat infiniturile creand asa-zisele numere transfinite. Astfel a reusit sa arate ca pe o dreapta, de exemplu, sunt mai multe puncte decat intr-o multime, tot infinita, de puncte izolate dintr-un plan, intelegand, intuitive, prin aceasta puncte intre care distantele sunt strict pozitive. Deci iata un fapt interesant: infinitul nu este mereu acelasi, anumite infinitati fiind “mai numeroase” decat altele.

In cartea sa “Excursie in teoria multimilor”, matematicianul sovietic N. I. Vilenkin gaseste un mod plastic si atragator de a se “juca” cu infinitul. El presupune existent unui hotel cu o infinitate de camere, 1, 2, 3, …, n, …, toate ocupate, la care se prezinta intr-o seara o infinitate de solicitanti pentru a fi cazati. Desigur, veti spune ca hotelul fiind plin, nou-venitii vor trebui sa-si gaseasca insa o solutie ingenioasa de a-i gazdui, procedand in felul urmator: muta pe locatarul de la camera 1 la camera 2, pe cel de la 2 la 3, pe cel de la 3 la 4, … si obtine camera 1 libera. Repetand procedeul pentru camerele 2, 3, 4, 5, … va obtine o infinitate de camera libere in care vor fi repartizati ultimii veniti, facand desigur abstractie de faptul ca acest procedeu ar dura la infinit. Vedem deci ca lumea infinitului se comporta cu totul altfel decat lumea noastra comuna in care suntem inconjurati de un numar finit de obiecte, receptam un numar finit de stimuli si avem o existenta finita in timp.

Nu in acelasi fel priveste infinitul matematicianul “fundationist”, cel care incearca sa dea matematicii, acest minunat edificiu construit de mintea omeneasca, o baza trainica si un sens de plecare. Acest fenomen al rascolirii fundamentelor s-a cristalizat spre sfarsitul secolului trecut si inceputul secolului nostru ca o reactie impotriva paradoxurilor ce se nascusera si care se cereau rezolvate. “Fundationistii” s-au construit in mai multe scoli: logism, formalism, intuitionism, pentru a enumera doar pe cele mai importante, grupate in jurul unor somitati ale matematicii vremii. Desi aveau un scop comun, aceste curente – care trateaza de fapt probleme aflate undeva la granita dintre matematica si filozofie – nu au rezolvat problema infinitului, situandu-se pe pozitii radical opuse in ceea ce priveste gandirea abstracta. Nici unul dintre curente nu a reusit sa explice in totalitate, fara sacrificii imense pentru matematica, antinomiile teoriei multimilor care au ca mar al discordiei tocmai interpretari ale notiunii de infinit.

Cu alte cuvinte, nu cumva infinitul este un finit care depaseste puterea noastra de patrundere si de cuprindere datorita faptului ca se afla dincolo de obisnuit si nu seamana cu nimic din ceea ce percepem prin simturi, depasind imaginea pe care ne-o putem forma despre el prin experienta? Cum ramane atunci cu hotelul cu o infinitate de camere? Foarte simplu, din moment ce interpretam infinitul de camere in acelasi fel, tot asa vom interpreta si infinitatea nou-venitilor. Acest mod de interpretare, desi nu lipsit de riscuri, ar putea motiva, oarecum teoretic, existent unui “infinit practic” de care ne folosim in stiintele aplicate si in tehnica.