Diagonala patratului - incursiune in istoria matematicii si fizicii

Dificultatile masurarii diagonalei patratului au provocat, la matematicienii greci, o importanta criza teoretica si practica. In spatele lui “radical din 2” se ascunde insa un moment frumos al istoriei matematicii.

La inceput totul era numar, iar Universul “traia” intr-o armonie perfecta! Sunetele emise de loviturile de ciocan ale fierarului, sunetele emise de planete (la vremea respectiva sferele celeste erau muzicale!), vitez orbitala a astrelor, formele geometrice (cercul – considerat figura geometrica divina), totul, absolut totul, se exprima in raportul armonios al numerelor intregi. Apoi, deodata, din cauza patratului, a masurarii diagonalei sale, a izbucnit un adevarat scandal, ordinea minunata, regularitatea perfecta existente pana in acel moment au fost brutal inlaturate. Un om a indraznit sa arate in fata intregii lumi “scandalul diagonalei patratului”. El se numea Hipasus din Metaponte (Grecia) si pentru ca el a indraznit sa rupa ordinea existenta – asa spun legendele – a fost aruncat in mare sau ... a pierit intr-un naufragiu. Ceea ce este important, insa, este faptul ca in spatele acestor legende se ascunde un moment important al istoriei matematicii. El este denumit, in mod obisnuit, “criza irationalilor”.

Dar, sa ne amintim de “prima armonie”, aceea in care numarul intreg este principiul tuturor lucrurilor. Sa vedem care este acesta! Anticilor greci ai mijlocului secolului al VI-lea i.e.n., avandu-l in centrul pe Pitagora – marele matematician care a creat la vremea respectiva, asa cum este cunoscut in istoria matematicii, “scoala lui Pitagora” – el le aparea ca “modelul lumii”. Matematicienii pitagoreici aveau un cult pentru numarul intreg si, drept urmare, multa veme au evitat sa alature numerelor intregi catul lor. De aceea toti matematicienii greci pana la Diofantis (sec. III e.n.) au considerat numerele intregi din sirul natural 1.2.3. drept numere, celelalte numere (fractionare si mai tarziu cele irationale) erau socotite marimi.

Gandirea “pitagoreica” va fi transmisa pe cale orala si ea s-a inconjurat de secrete si mistere. Invatamantul pitagorician era considerat esoteric, adica nu se putea tranmite decat unui numar restrans de initiati. Dar ce fac acesti “initiati”, de fapt primii filozofi-matematicieni? Ei observa cerul, desenand harta in conexiune cu diviziunile zodiacale si remarca, spre exemplu, ca Soarele, in curba lui circulara, “viziteaza” 12 constelatii. Dar ce era o constelatie in conceptia lor? Pur si simplu, numarul astrelor care o constituie si, bineinteles, figura geometrica pe care o deseneaza pe bolta cereasca. Iata cum lumea Universului este in armonie geometrica si cum constelatiile au un numar care le este propriu. Mai mult, exista o identitate de structura intre natura lucrurilor si numarul intreg. In aceasta doctrina, numerele sunt reprezentate prin “imbinari” de puncte care deseneaza figuri.

Iata de ce grecii acelei epoci vor construi numere patrate si triunghiulare care nu sunt niste metafore, ci sunt forme si sens. In aceasta conceptie 1 este principiu de indentitate, 2 este primul numar par (cu sot) si feminin, 3 este primul numar impar (fara sot) si de asemenea feminin, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 este considerat norma Universului (ca suma a primelor patru numere) in care 4 este primul patrat perfect, caci 4 este egal cu 2 la puterea 2. Dupa cum e poate observa, numerele sunt constituite prin doua operatii, adunarea si inmultirea, cel mai simplu procedeu fiind dublarea, careia ii corespund doua clase mari de numere: pare si impare. In acest fel, in jurul configuratiei numerelor se poate construi o intreaga aritmetica, adica o teorie a numerelor, prin opozitie cu logica (arta de a calcula). In acest sens sa aratam, cu ajutorul notiunii de “gnomon” (figura formata din ceea ce ramane dintr-un patrat dupa ce s-a scos tot un patrat), cum suma a doua numere triunghiulare succesive da un numar patrat. Genomii, dupa cumse observa, ne arata ca suma intregilor impari succesivi: 1 + 3 = 4; 1 + 3 + 5 = 9; 1 + 3 + 5 + 7 + 16; ... dau un sir de numere patrate, si anume: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Cercetand cu atentie acest sir, se observa foarte usor care este solutia ecuatiei x² y² = z² - care nu este altceva decat faimoasa teorema a lui Pitagora -, expresie a bunei ordini a numerelor si masurilor.

Tocmai in acest Univers a carui armonie este datorata numerelor va izbucni scandalul. Aici, unde totul este cel mai rational, va aparea ... irationalul, in cel mai propriu sens. Protagonistul, tapul ispasitor, responsabilul crizei, Hipasus din Metaponte, este el insusi pitagorician. El o sa faca cunoscut, in afara cercurilor pitagoreice, nonsensul pe care il reprezinta masura diagonalei patratului.  Radical din 2 (√2) exista ca marime geometrica, fiind sau latura patratului de arie de doua ori mai mare decat a unui patrat dat, de latural l sau diagonala atratului de latura l. In ordine de idei, acest segment-diagonala a patratrului de latural l putea i construit usor cu rigla si compasul, dar marimea lui nu e putea exrpima prin raportul a doua numere naturale. Iata cum matematicienii din scoala lui Pitagora se aflau acum fata in fata cu una din contradictiile fatale pentru conceptia lor despre lume.

Mai tarziu, cand Euclid va reface, in cartea sa intitulata “Elemente”, toata istoria matematicii, el va comenta astfel legenda despre Hipasus: “Autorii legendei au vrut sa vorbeasca prin alegorie, ei au vrut sa spuna ca tot ce este irational si lipsit de forma trebuie sa ramana ascuns. Ca daca vreu suflet rea a patrunda in aceasta regiune secreta si sa o lase deschisa, atunci el este antrenat in marea devenirii (evolutiei) a inecat in necontenita miscare a curentilor”.